离散型随机变量
分布列¶
对于随机变量的每个取值，给出一个概率
\[P_X(x) = P(X=x)\]
分布函数¶
分布函数（累积分布函数 CDF）
\[F(x) = P(X\leq x)\]
常见离散随机变量¶
Bernoulli 随机变量¶
二项随机变量（Binomial）¶
一个伯努利变量在 \(n\) 次独立重复试验中成功的次数为 \(k\)，则
\[p(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
二项分布的参数：\(n,p\)，记作\(B(n,p)\).
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x = np.random.binomial(10,0.3,100) # k,p,n
sns.histplot(x, discrete=True)
几何随机变量（Geometric）¶
伯努利随机变量首次成功所需的次数
\[p(k) = (1-p)^{k-1}p\]
绘制 CDF：
泊松随机变量（Poisson）¶
- 泊松分布与二项分布
- 二项分布：\(n\) 很大，\(p\) 很小，则二项分布近似于泊松分布
- \(\lambda = np\)
- 随机变量 \(X\) 表示一段时间/空间内发生事件A的次数
\[p(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\]
期望¶
\[E(X) = \sum_{x} xP(X=x)\]
方差¶
\[\text{var}(X) = E(X^2) - E(X)^2\]
\(n\) 阶矩¶
\[E(X^n) = \sum_{x} x^n P(X=x)\]
- 一阶矩：期望
- 二阶矩：可算出方差
期望和方差的性质
若 \(Y=aX+b\)，则
\[E(Y) = aE(X)+b\]
\[\text{var}(Y) = a^2\text{var}(X)\]
常见随机变量的期望值和方差¶
均匀分布¶
\[ p_X(k) = \begin{cases} \frac{1}{b-a+1}, & a\leq k\leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
\(E(X) = \frac{1}{b-a+1} \sum_{k=a}^b k = \frac{a+b}{2}\)
\(\text{var}(X) = \frac{(b-a+1)^2-1}{12}\)
多个随机变量的函数¶
\[E(g(X,Y)) = \sum_{x,y} g(x,y)P(x,y)\]
若 \(g\) 是 \(X,Y\) 的线性函数，则
\[E(aX+bY+c) = aE(X) + bE(Y) + c\]
\[E(XY) = E(X)E(Y)\]
\[\text{var}(X+Y) = \text{var}(X) + \text{var}(Y)\]
\[\text{var}(XY) = (留给读者自行证明)\]