分离变量法解薛定谔方程的初步探索
December 31, 2024 Abstract 本文通过分离变量法对中心势场下的薛定谔方程做了简单讨论, 用较完整的数学推导解释了为什么原子轨道角动量的取值是 \(\sqrt{l(l+1)}\hbar\), 以及简要地对球函数的性质做了介绍.
1 \(~~\)薛定谔方程
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子的运动的基本方程, 它的一般形式为
\[\begin{equation} \tag{1.1} \label{eq:Schrodinger} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right] \psi. \end{equation}\]
这是量子力学的基本假设之一, 它描述了微观粒子的波函数 \(\psi\) 随时间的演化.
1.1 \(~~\)定态情形
在定态情况下, 势能 \(V\) 与时间无关, 薛定谔方程可以 分离变量 求解, 即设
\[\begin{equation} \tag{1.2} \psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) f(t), \end{equation}\]
代入薛定谔方程 \eqref{eq:Schrodinger}, 得到
\[\begin{equation} \tag{1.3} \frac{\mathrm{i} \hbar}{f(t)} \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{\psi(\mathbf{r})} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r}). \end{equation}\]
上式左边只与时间 \(t\) 有关, 右边只与空间 \(\mathbf{r}\) 有关, 因此两边必须恒等于一个常数 \(E\). 由此可以得到
\[\begin{equation} \tag{1.4} \label{eq:Schrodinger_sep} \left\{ \begin{array} {l} \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t} = E f(t), \\[2ex] \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r})\right] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}). \end{array} \right. \end{equation}\]
式 \eqref{eq:Schrodinger_sep} 中的第一个方程可解出 \(f(t) = e^{-\mathrm{i} Et/\hbar}\), 对比德布罗意关系 \(E = \hbar \omega\), 可知 \(E\) 就是粒子的能量. 这样定态波函数就可以写成
\[\begin{equation} \tag{1.5} \label{eq:wave} \psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-\mathrm{i} Et/\hbar}. \end{equation}\]
式 \eqref{eq:Schrodinger_sep} 的第二个方程也可以用哈密顿算符表示为
\[\begin{equation} \tag{1.6} \label{eq:E_eigen} \hat{H} \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}). \end{equation}\]
该式即为能量本征方程. 这是下面讨论的基础.
1.2 \(~~\)能量本征方程
若只考虑中心势场的情况, 则势能只与粒子到原点的距离 \(r\) 有关, 即 \(V = V(r)\). 出于对称性的考虑, 转换到球坐标系下讨论.
球坐标系的拉普拉斯算符为
\[\begin{equation} \tag{1.7} \label{eq:Laplacian} \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. \end{equation}\]
代入薛定谔方程 \eqref{eq:Schrodinger} 中, 得到
\[\begin{equation} \tag{1.8} \label{eq:Schrodinger_spherical} -\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} + V(r)\right] \psi = E \psi. \end{equation}\]
这个式子形式复杂. 由于是中心势场, 不妨考虑角动量这个物理量.
2 \(~~\)角动量算符
在量子物理学中, 一般物理量均用相应的算符表示, 算符代表对波函数的一种变换操作. 这里对角动量算符做简要的讨论.
根据经典力学定义, 角动量 \(\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}\), 故角动量算符为 \(\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{r}\times\hat{\mathbf{p}}\). 具体形式即
\[\begin{equation} \tag{2.1} \hat{\mathbf{L}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \hat{p}_x & \hat{p}_y & \hat{p}_z \end{vmatrix} = \vec{i} \left( y \hat{p}_z - z \hat{p}_y \right) + \vec{j} \left( z \hat{p}_x - x \hat{p}_z \right) + \vec{k} \left( x \hat{p}_y - y \hat{p}_x \right). \end{equation}\]
借用动量的算符表达 \(\hat{\mathbf{p}} = -\mathrm{i} \hbar \nabla\), 可以得到角动量算符的三个分量为
\[\begin{equation} \tag{2.2} \begin{aligned} \hat{L}_x &= \hat{y} \hat{p}_z - \hat{z} \hat{p}_y = -\mathrm{i} \hbar \left( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y} \right), \\ \hat{L}_y &= \hat{z} \hat{p}_x - \hat{x} \hat{p}_z = -\mathrm{i} \hbar \left( z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z} \right), \\ \hat{L}_z &= \hat{x} \hat{p}_y - \hat{y} \hat{p}_x = -\mathrm{i} \hbar \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right). \end{aligned} \end{equation}\]
通过球坐标变换
\[\begin{equation} \tag{2.3} \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} &= \sin \theta \cos \varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta \cos \varphi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin \varphi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}, \\ \frac{\partial}{\partial y} &= \sin \theta \sin \varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta \sin \varphi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos \varphi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}, \\ \frac{\partial}{\partial z} &= \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}, \end{aligned} \right. \end{equation}\]
可以得到角动量算符的分量为
\[\begin{equation} \tag{2.4} \label{eq:L_xyz} \begin{aligned} \hat{L}_x &= \mathrm{i} \hbar \left( \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \theta} + \cot \theta \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \right), \\ \hat{L}_y &= -\mathrm{i} \hbar \left( \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \right), \\ \hat{L}_z &= -\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}. \end{aligned} \end{equation}\]
进而得到角动量平方算符
\[\begin{equation} \tag{2.5} \label{eq:L2} \begin{aligned} \hat{L}^2 &= \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 \\ &= -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right]. \end{aligned} \end{equation}\]
可以发现, 式 \eqref{eq:L2} 与球坐标系下拉普拉斯算符 \eqref{eq:Laplacian} 的角向分量形式相同. 两式联立得
\[\begin{equation} \tag{2.6} \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2}. \end{equation}\]
与式 \eqref{eq:Schrodinger_spherical} 联立, 能量本征方程化简为
\[\begin{equation} \tag{2.7} \label{eq:E_eigen_spherical} \left[ -\frac{\hbar^2}{2mr^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{\hat{L}^2}{2m r^2} + V(r) \right] \psi = E \psi. \end{equation}\]
大括号 \([\,]\) 中的项仅与 \(r\) 有关, 可以考虑将波函数 \(\psi\) 分离变量为 \(R(r)Y(\theta, \varphi)\). 其中 \(Y(\theta, \varphi)\) 就是球函数, 会在下一节详细展开.
3 \(~~\)球函数
3.1 \(~~\)球函数方程
将分离变量后的波函数 \(\psi\) 代入式 \eqref{eq:E_eigen_spherical}, 移项后可以得到
\[\begin{equation} \tag{3.1} \frac{1}{\hbar^2 Y} \hat{L}^2 Y = \frac{1}{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left( r^2 \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} r} \right) + \frac{2mr^2}{\hbar^2} \left[ E - V(r) \right]. \end{equation}\]
等号左边只与 \(\theta, \varphi\) 有关, 右边只与 \(r\) 有关, 因此两边必须恒等于一个常数 \(\lambda\). 于是有 \begin{equation} \tag{3.2} \label{eq:L2_eigen} \hat{L}^2 Y = \lambda \hbar^2 Y. \end{equation}
再用 \eqref{eq:L2} 代换 \(\hat{L}^2\),
\[\begin{equation} \tag{3.3} \label{eq:spherical} \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} + \lambda Y = 0. \end{equation}\]
此即为 球函数方程. 通常将常数 \(\lambda\) 记为 \(l(l+1)\). 之后的推导会证明 \(l\) 需为整数才能满足自然边界条件.
进一步分离变量, 设 \(Y(\theta, \varphi) = \Theta(\theta) \Phi(\varphi)\), 代入球函数方程 \eqref{eq:spherical}, 可以得到
\[\begin{equation} \tag{3.4} \label{eq:theta_phi} \frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}\theta}\right) + l(l+1) \sin^2\theta = -\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2\Phi}{\mathrm{d}\varphi^2} = m^2. \end{equation}\]
\(\Phi\) 的方程是 \(\Phi'' + m^2 \Phi = 0\). 注意到 \(\Phi\) 必须满足周期性边界条件, 即 \(\Phi(\varphi + 2\pi) = \Phi(\varphi)\), 于是 \(m\) 必须为整数. 这也是上式右边的常数写成 \(m^2\) 的原因. 于是 \(\Theta\) 的方程化为
\[\begin{equation} \tag{3.5} \label{eq:Theta} \sin\theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}\theta}\right) + \left[l(l+1)\sin^2\theta - m^2\right]\Theta = 0. \end{equation}\]
3.2 \(~~\)勒让德方程
为了化简方程 \eqref{eq:Theta}, 引入变换 \(x = \cos\theta\) (\(x\) 与直角坐标没有关系!\,), 变换之后 \(\Theta\) 的方程化为
\[\begin{equation} \tag{3.6} \label{eq:Legendre_Associated} (1 - x^2) \frac{\mathrm{d}^2\Theta}{\mathrm{d} x^2} - 2x \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d} x} + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1 - x^2}\right]\Theta = 0. \end{equation}\]
式 \eqref{eq:Legendre_Associated} 称为 连带的勒让德方程 (Associated Legendre Equation). 特别地, 当 \(m = 0\) 时, 连带的勒让德方程退化为 勒让德方程 (Legendre Equation), 即
\[\begin{equation} \tag{3.7} \label{eq:Legendre} (1 - x^2) \frac{\mathrm{d}^2\Theta}{\mathrm{d} x^2} - 2x \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d} x} + l(l+1)\Theta = 0. \end{equation}\]
先考虑勒让德方程的求解. 这个常微分方程还没有直接的解析解, 但是可以通过级数解法求解. 设 \(y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k\), 代入勒让德方程合并后得到
\[\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \left\{(k+2)(k+1) a_{k+2} - [k(k+1) - l(l+1)]a_k\right\} x^k = 0. \end{equation*}\]
故系数的递推公式为
\[\begin{equation} \tag{3.8} \label{eq:recurrence} a_{k+2} = \frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+2)(k+1)} a_k, \quad k = 0, 1, 2, \dots \end{equation}\]
为了方便递推, 将偶数次幂的解和奇数次幂的解分别记为 \(y_0(x)\) 和 \(y_1(x)\), 即 \(y(x) = a_0 y_0(x) + a_1 y_1(x)\). 于是
\[\begin{equation*} \begin{aligned} y_0(x) &= 1 + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-2-l)(2k-4-l)\cdots(2-l)(-l)\cdot(l+1)(l+3)\cdots(l+2k-1)}{(2k)!} x^{2k}, \\ y_1(x) &= x + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1-l)(2k-3-l)\cdots(1-l)\cdot(l+2)(l+4)\cdots(l+2k)}{(2k+1)!} x^{2k+1}. \end{aligned} \end{equation*}\]
接下来考察级数解的敛散性. 由式 \eqref{eq:recurrence} 可知级数的收敛半径为 1. 由于 \(x = \cos \theta \in [-1, 1]\), 故只关心 \(x = \pm 1\) 处的敛散性. 然而, 用高斯判别法可以证明, 这两个级数解都在 \(x = \pm 1\) 处发散.
而且可以证明, 无论如何将 \(y_0(x)\) 和 \(y_1(x)\) 线性组合, 都无法得到同时在 \(x = -1\) 和 \(x = 1\) 都收敛的无穷级数解. 而很多定解问题都要求解在任意方向保持有限, 因此无穷级数必须退化为有限项（即多项式）才能满足物理要求.
观察式 \eqref{eq:recurrence}, 若 \(l\) 为某个正整数, 则 \(a_{l+2} = 0\), 从而 \(a_{l+4}, a_{l+6}, \dots\) 都为零. 这样级数就截断成了多项式！ 当 \(l\) 为奇数时, \(y_1(x)\) 截断为多项式, 此时 \(y_0(x)\) 为无穷级数, 于是取 \(a_0 = 0\) 可以得到满足物理要求的解. 当 \(l\) 为偶数时, \(y_0(x)\) 截断为多项式, 此时 \(y_1(x)\) 为无穷级数, 就取 \(a_1 = 0\). 这样就得到了勒让德方程的有限解.
通常约定解得的多项式最高次项系数为
\[\begin{equation*} a_l = \frac{(2l)!}{2^l (l!)^2}. \end{equation*}\]
使用式 \eqref{eq:recurrence} 可以倒推出低阶项的系数. 最后可以求得 \(l\) 阶勒让德多项式的表达式为
\[\begin{equation} \tag{3.9} \label{eq:Legendre_polynomial} P_l(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor l/2 \rfloor} \frac{(-1)^k (2l-2k)!}{2^l k! (l-k)! (l-2k)!} x^{l-2k}. \end{equation}\]
前几个勒让德多项式是
\[\begin{equation*} \begin{aligned} P_0(x) &= 1, \\ P_1(x) &= x = \cos \theta, \\ P_2(x) &= \frac{1}{2}(3x^2 - 1) = \frac{1}{4}(3\cos 2\theta + 1), \\ P_3(x) &= \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) = \frac{1}{8}(5\cos 3\theta + 3\cos \theta), \\ P_4(x) &= \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) = \frac{1}{64}(35\cos 4\theta + 20\cos 2\theta + 9). \end{aligned} \end{equation*}\]
图1：前几个勒让德多项式的图像. 对于连带勒让德方程（\(m \neq 0\)）, 做变换 \(\Theta(x) = (1 - x^2)^{m/2} y(x)\), 可以得到
\[\begin{equation} \tag{3.10} \label{eq:3.8} (1 - x^2)y'' - 2(m+1)x y' + \left[l(l+1) - m(m+1)\right]y = 0. \end{equation}\]
对勒让德方程 \eqref{eq:Legendre} 求 \(m\) 阶导数,
\[\begin{equation} \tag{3.11} \label{eq:3.9} (1-x^2)P^{(m+2)} - 2(m+1)x P^{(m+1)} + [l(l+1) - m(m+1)]P^{(m)} = 0. \end{equation}\]
其中 \(P^{(m)}\) 表示 \(P\)（在 \eqref{eq:Legendre} 中就是 \(\Theta\)） 的 \(m\) 阶导数. 对比 \eqref{eq:3.8} \eqref{eq:3.9} 两式, 不难发现 \(y(x) = P^{(m)}(x)\). 那么连带勒让德方程的解 \(\Theta\) 就是
\[\begin{equation} \tag{3.12} \Theta = (1 - x^2)^{m/2} P^{(m)}(x) \equiv P_l^m(x). \end{equation}\]
其中 \(P_l^m(x)\) 称为连带勒让德函数. 值得指出的一点是, \(P_l(x)\) 是 \(l\) 阶多项式, 所以上面的求导操作最多只能求 \(l\) 次, 也就是说 \(m \leq l\). 而连带勒让德方程 \eqref{eq:Legendre_Associated} 中只出现了 \(m^2\), 将 \(m\) 替换为 \(-m\) 方程保持不变, 因此 \(m\) 可以也可取负整数. 事实上, \(P_l^m(x)\) 和 \(P_l^{-m}(x)\) 是线性相关的, 而且只差一个常数因子. 于是 \(m\) 的取值为 \(-l, -l+1, \dots, l-1, l\), 共 \(2l+1\) 个.
\(m = 0\)时, 连带勒让德函数简化为勒让德多项式 \(P_l(x)\). \(m \neq 0\) 的前几阶连带勒让德函数是
\[\begin{equation*} \begin{aligned} P_1^1(x) &= (1 - x^2)^{1/2} = \sin \theta, \\ P_2^1(x) &= 3x(1 - x^2)^{1/2} = \frac{3}{2} \sin 2\theta, \\ P_2^2(x) &= 3(1 - x^2) = \frac{3}{2} (1 - \cos 2\theta). \end{aligned} \end{equation*}\]
3.3 \(~~\)球函数的一般形式
结合上述讨论, 可以得到球函数的一般形式为
\[\begin{equation} \tag{3.13} \label{eq:spherical_harmonics} Y_l^m(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^{|m|}(\cos\theta) e^{\mathrm{i} m \varphi} \left( \begin{aligned} l &= 0, 1, 2, \dots, \\ m &= -l, -l+1, \dots, 0, 1, \dots, l. \end{aligned} \right). \end{equation}\]
这是归一化后球函数的复数形式. 球函数还有很多性质, 例如正交性、完备性等, 这里不再详细展开. 下面是一阶球函数的图像.
图2：一阶球函数的示意图. 4 \(~~\)总结
经过了大量的分析计算, 我们得到了 \(l\) 和 \(m\) 的取值范围, 本征值的取值也呼之欲出了. 式 \eqref{eq:L2_eigen} 可改写为
\[\begin{equation} \tag{4.1} \label{eq:L2_eigen_final} \hat{L}^2 Y_l^m = l(l+1) \hbar^2 Y_l^m. \end{equation}\]
此外, 利用式 \eqref{eq:L_xyz} 中 \(\hat{L}_z\) 的表达式和式 \eqref{eq:theta_phi} 可以推出
\[\begin{equation} \tag{4.2} \label{eq:Lz_eigen} \hat{L}_z Y_l^m = m \hbar Y_l^m. \end{equation}\]
\eqref{eq:L2_eigen_final} \eqref{eq:Lz_eigen} 两式说明, 球函数 \(Y_l^m\) 是轨道角动量平方算符 \(\hat{L}^2\) 和轨道角动量 \(z\) 分量算符 \(\hat{L}_z\) 的共同本征函数. 式 \eqref{eq:L2_eigen_final} 是 \(\hat{L}^2\) 的本征方程, 本征值为 \(l(l+1)\hbar^2\), 即 \(L = \sqrt{l(l+1)}\hbar\)； 式 \eqref{eq:Lz_eigen} 是 \(\hat{L}_z\) 的本征方程, 本征值为 \(L_z = m\hbar\).
实际测量时, 测量得到的值只能是本征值, 因此 \(l\) 和 \(m\) 的取值表现了角动量大小和方向的量子化, 而且角动量不能完全指向 \(z\) 轴（即外磁场方向）. \(l\) 和 \(m\) 分别称为轨道角动量量子数和磁量子数, 给定 \(l\) 后, \(m\) 有 \(2l+1\) 个取值, 即 \(2l+1\) 重简并. 这也是元素周期律的基石.
文中曾在节 \(1.1\) 提到过定态情形下可用分离变量法求解薛定谔方程. 实际上, 分离变量法的使用场合较为局限, 很多复杂问题（空间时间耦合程度较高的问题等）无法用分离变量法求解, 目前也没有一套通用的理论判定什么方程可以用分离变量法求解. 但是对于一些简单假设下的模型, 分离变量法足够为我们提供很多有用的信息, 仍为一种重要的物理求解方法.
总结起来, 全文的讨论和计算围绕中心势场下的定态薛定谔方程展开, 通过分离变量法得到了球函数的一般形式和角动量的本征问题. 限于笔者能力, 本文对波函数的物理解释、共同本征函数与算符对易的关系等深层次问题没有过多叙述, 今后的学习中会进一步研究.
致谢
感谢叶高翔老师对《原子物理》课深入浅出的讲解, 使我对原子的行为和性质有了更多更深的了解. 叶老师慷慨提供的《量子物理学》讲义节选让我初步领略到量子世界的奇妙, 也为本文提供了许多参考资料.
感谢教授《数学物理方法》这门课的鲍荣浩老师和伍斌老师. 这个 6 学分的课内容很多, 也不好理解, 但终归还是上下来了. 虽然我还有很多不甚理解之处, 但配合着《原子物理》这门课, 我还是能找到两者的勾连. 历史上, 玻恩 (Max Born) 在哥廷恩大学 (Universität Göttingen) 1923/1924 冬季学期讲授的 Atommechanik, 正是原子物理这门课. 也是在 1924 年, 哥廷根大学的两位教授理查德·库朗 (Richard Courant) 和戴维·希尔伯特 (David Hilbert) 出版了《数学物理方法》(Methoden der mathematischen Physik) 这本著作, 全面论述了当时的“数学物理方法”. 能在 100 年后的今天同时修读这两门课, 在 2024 年的最后一天完成这篇小论文, 我感到非常幸运, 希望能在物理学习的道路上继续走下去！
参考文献
- 梁昆淼. (2020). 数学物理方法 (第五版). 高等教育出版社.
- 叶高翔. 量子物理学讲义.