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C 学习笔记

第零章

0.1 信息在计算机中的表示

  • 用0和1表示各种信息

    • 逻辑门电路：开（高电位）对应1，关（低电位）对应0
    • 二进制：取值只能是0或1，一位称为一个“比特 (bit)”，简写作 b ；八位称为一个“字节 (byte)”，简写作 B
    • 8b = 1B, 1024B = 1KB, 还有 MB, GB, TB...

  • 0和1足以表示和传播各种信息

    • 文字编码：ASCII, UTF-8...
    • 图像编码：RGB
    • 音频编码：采样
    • ...

0.2 数制转换

进制只是数的表示形式，数本身没有进制之分。

0.2.1 K进制 \(\rightarrow\) (十)进制

设一个 \(n+1\) 位的 \(K\) 进制数为 $$\overline{A_n A_{n-1} A_{n-2} … A_2 A_1 A_0}, $$ 则其 大小 为 $$A_n×K^n + A_{n-1}×K^{n-1} +…+ A_0×K^0. $$ 转换成十进制即在相加的过程中使用十进制的进位规则。

例

将十六进制数 AFD2 转换成十进制数。 AFD2 \( = 2 × 16^0 + 13 × 16^1 + 15 × 16^2 + 10 × 16^3 = 45010. \)

0.2.2 (十)进制 \(\rightarrow\) K进制 （长除取余法）

给定一个整数 \(N\)（进制不重要）和进制 \(K\)，那么 \(N\) 可以表示为

\[\begin{align*} N &= K^n×A_n + K^{n-1}×A_{n-1} +…+ K^1×A_1 + A_0 \\ &= K×(K^{n-1}×A_n + K^{n-2}×A_{n-1} +…+ K^0×A_1) + A_0. \\ \end{align*}\]

\(N\) 除以 \(K\) 的商为 \(K^{n-1}×A_n + K^{n-2}×A_{n-1} +…+ K^0×A_1\)，余数为 \(A_0\)；商再除以 \(K\) 的商为 \(K^{n-2}×A_n + K^{n-3}×A_{n-1} +…+ K^0×A_1\)，余数为 \(A_1\) … 以此类推，直到商为0为止，就能依次求得 \(A_0、A_1…A_{n-1}、A_n\).

显然 \(A_i < K (i = 0,1,…,n)\). 得到的 \(K\) 进制数就是：$$A_n A_{n-1} A_{n-2} … A_2 A_1 A_0. $$

例

将 \(123\) 转换成二进制数。

\[123 = 2^6×1 + 2^5×1 + 2^4×0 + 2^3×1 + 2^2×1 + 2^1×1 + 2^0×1 = 1111011. \]

0.3 K进制小数

K进制小数 \(0.A_0 A_1 …A_n\) 的值是：$$A_0×K^{-1} + A_1×K^{-2} +…+ A_n×K^{-(n+1)}. $$

例

\((0.12)_{10} = 1 × 10^{-1} + 2 × 10^{-2}\)

\((0.1)_3 = 1 × 3^{-1}\) 表示成10进制就是无限循环小数

可见，\(n\) 进制下的有限位小数，在 \(m\) 进制下可能就是无限位小数，无法精确表示。 计算机用二进制表示小数，所以在计算机中，很多小数都是无法精确表示的，小数运算就有误差。