哈密顿力学¶

勒让德变换¶

一元 case¶

$f(x)$ 是 $x$ 的函数，且 $u(x) = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$.

构造

\[ \boxed{ g(u) = xu - f(x) } \]

$g$ 是 $u$ 的函数

取全微分，得

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}g &= x\mathrm{d}u + u\mathrm{d}x - \mathrm{d}f \\ &= x\mathrm{d}u + \cancel{u\mathrm{d}x} - \cancel{u\mathrm{d}x} \\ &= x\mathrm{d}u. \end{aligned} \]

故 $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}u} = x$, 即 $g(u)$ 是 $u$ 的函数。

称 $g(u)$ 为 $f(x)$ 的勒让德变换 (Legendre transformation).

多元 case¶

函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n; \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m)$ 是 $x_i$ 和 $\alpha_j$ 的函数，且

\[ y_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}, \quad (i = 1, 2, \dots, n). \]

将变量 $x_i, \alpha_j$ 变换为 $y_i, \alpha_j$，构造

\[ \boxed{ g = \sum_{i=1}^n x_i y_i - f } \]

$g$ 是 $y_i$ 的函数

取全微分，得

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}g &= \sum_{i=1}^n y_i\mathrm{d}x_i + \sum_{i=1}^n x_i \mathrm{d}y_i - \mathrm{d}f \\ &= \cancel{\sum_{i=1}^n y_i\mathrm{d}x_i} + \sum_{i=1}^n x_i \mathrm{d}y_i - \cancel{\sum_{i=1}^n y_i \mathrm{d}x_i} \\ &= \sum_{i=1}^n x_i \mathrm{d}y_i. \end{aligned} \]

故 $\frac{\partial g}{\partial y_i} = x_i$, 即 $g$ 是 $y_i$ 的函数。

重要应用¶

在物理学中，用于推导各种热力学势
- 热力学第一定律 $\mathrm{d}U = \mathrm{d}Q + \mathrm{d}W$
- 热力学第二定律 $\mathrm{d}Q = T\mathrm{d}S$
\[\Longrightarrow \mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V\]
- $U(S,V)$ 是 $S$ 和 $V$ 的函数，且 $\frac{\partial U}{\partial S} = T, \frac{\partial U}{\partial V} = -P$
在数学中，用于求解 PDE
在弹性力学中
- 定义势能（应变能）
- 余能是势能的勒让德变换
- 势能和余能构成力学的数值分析方法（FEM）的基础
在理论力学中
- 推导哈密顿方程

哈密顿方程¶

保守系统¶

设质点系由 $n$ 个质点组成，受到 $s$ 个完整约束，系统自由度为 $k = 3n - s$. 理想约束情况，保守系统的拉格朗日函数为

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1, 2, \dots, k.\]

哈密顿（Hamilton）引入广义动量

\[p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}, \quad i = 1, 2, \dots, k.\]

以广义动量和广义坐标作为描述系统的状态变量

\[ \begin{aligned} H &= H(p_1, p_2, \dots, p_k; q_1, q_2, \dots, q_k; t) \\ &= \sum_{i=1}^k p_i \dot{q}_i - L, \quad i = 1, 2, \dots, k. \end{aligned} \]

拉格朗日函数的勒让德变换为哈密顿函数 $H$.

勒让德变换存在性：

\[ \begin{aligned} \det \left[ \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j} \right] \end{aligned} \]

广义速度表示的动能

\[ \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j + \sum_{i=1}^k b_i \dot{q}_i + c \\ &= T_2 + T_1 + T_0. \end{aligned} \]

其中 $T_2, T_1, T_0$ 分别表示二阶、一阶和常数项动能。

对 $H$ 求全微分

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}H &= \cancel{\sum_{i=1}^k p_i \mathrm{d}\dot{q}_i} + \sum_{i=1}^k \dot{q}_i \mathrm{d}p_i - \cancel{\sum_{i=1}^k \frac{\partial L}{\partial q_i} \mathrm{d}\dot{q}_i} - \sum_{i=1}^k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm{d}q_i \\[2em] & \text{（利用广义动量定义消去两项）} \\ &= \sum_{i=1}^k \dot{q}_i \mathrm{d}p_i - \sum_{i=1}^k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm{d}q_i. \end{aligned} \]

故得

\[ \begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial p_i} &= \dot{q}_i, \\[1em] \frac{\partial H}{\partial q_i} &= -\frac{\partial L}{\partial q_i}. \end{aligned} \]

利用拉格朗日方程和广义动量定义，代换掉 $\frac{\partial L}{\partial q_i}$:

\[ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial q_i} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \\ &= \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} \\ &= \dot{p}_i. \end{aligned} \]

最终得到

\[ \boxed{ \begin{cases} \dot{q}_i = \dfrac{\partial H}{\partial p_i} \\[2em] \dot{p}_i = -\dfrac{\partial H}{\partial q_i} \end{cases} } \]

其中 $i = 1, 2, \dots, k$. 此即为哈密顿方程。

Remarks

哈密顿方程是 $2k$ 个一阶常微分方程，拉格朗日方程是 $k$ 个二阶常微分方程。

非保守系统¶

对于非保守系统，主动力可分为有势力和非有势力两类，系统的拉格朗日方程为

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \tilde{Q}_i, \quad i = 1, 2, \dots, k.\]

广义动量关于时间的全导数

\[\dot{p}_i = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} + \tilde{Q}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} + \tilde{Q}_i.\]

哈密顿方程

$$ \begin{aligned} H &= \left(\sum_{i=1}^k p_i \dot{q}i - L \right)}_i \to p_i

例题

某二自由度动力学系统的广义坐标为 $q_1, q_2$, 拉格朗日量为

\[L = \frac{3}{2} \dot{q}_1^2 + \frac{1}{2} \dot{q}_2^2 - q_1^2 - \frac{1}{2} q_2^2 - q_1q_2.\]

求哈密顿函数 $H$.

解

系统的广义动量

\[p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} = 3\dot{q}_1, \quad p_2 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_2} = \dot{q}_2.\]

解得广义速度

\[\dot{q}_1 = \frac{1}{3} p_1, \quad \dot{q}_2 = p_2.\]

代入哈密顿函数

\[ \begin{aligned} H &= p_1 \dot{q}_1 + p_2 \dot{q}_2 - L \\ &= \frac{1}{3} p_1^2 + p_2^2 - \frac{3}{2} \dot{q}_1^2 - \frac{1}{2} \dot{q}_2^2 + q_1^2 + \frac{1}{2} q_2^2 + q_1q_2 \\ &= -\frac{2}{3} p_1^2 - \frac{1}{2} p_2^2 + q_1^2 + \frac{1}{2} q_2^2 + q_1q_2. \end{aligned} \]